L’impossible trissection de l’angle

Voilà quelques temps que je ré-étudie la géométrie plane, au moyen des seuls compas et règle non graduée, comme ont pu travailler les antiques bâtisseurs.

Si beaucoup de polygones sont accessibles uniquement avec ces deux outils, je ressentais le besoin de savoir diviser un angle en trois parties égales, afin d’élargir ma palette d’expression géométrique, et sans doute découvrir d’autres proportions, d’autres harmonies mathématiques.

À ma grande surprise, je lisais à longueur de forums que la trissection de l’angle était tout simplement impossible, sans autre démonstration que l’acceptation de cet argument. Circulez, y’a rien à voir…

Piqué au vif, j’ai donc mené mon enquête, pour savoir si cette « vérité » était fondée, car il lui manquait la démonstration – démonstration que je me propose de partager à présent.

Pour cela j’ai utilisé le logiciel libre GéoGebra (http://www.geogebra.org/cms/fr/)  sur lequel je me repose pour l’exactitude des mesures et des tracés effectués.

Au commencement donc, il y avait une droite, passant par deux points.

2014-03-17 11_54_42-GeoGebra

De la, je construis le triangle équilatéral correspondant.

2014-03-17 11_55_48-GeoGebra

Ainsi constitué, on peut donc rappeler ses caractéristiques : tous ses côtés sont de même longueur, et les angles aux sommets mesurent tous les trois 60°.

2014-03-17 12_03_32-GeoGebra

Dans un triangle de ce type (équilatéral), la bissectrice d’un angle est aussi la médiatrice du côté opposé à cet angle. C’est cette relation de réciprocité que j’ai voulu extrapoler vers une trissection. Mais voyons d’abord la bissection. On obtient donc deux angles de 30° (le résultat serait similaire sur les deux autres sommets du triangle).

2014-03-17 12_06_34-GeoGebra

Mon idée était la suivante : puisque une bissectrice d’un angle coupe aussi le côté opposé en deux parties égales, et que j’ai trouvé un moyen de diviser un côté en trois parties égales (ça sera démontré plus bas), normalement je devrais pouvoir diviser ainsi mon angle en trois parties égales ? C’est ce que nous allons voir…

Pour diviser un côté donné en trois parties égales, il faut qu’il appartienne à un triangle. Ça tombe bien, il est déjà fait.

Ensuite, il s’agit de tracer la bissectrice de chaque angle (ou la médiatrice de chaque côté).
L’intersection de ces droites détermine le centre géométrique du triangle.

2014-03-17 13_24_01-GeoGebra

De ce centre, on trace le cercle qui passe par tous les sommets du triangle – pas les points des bissectrices.
En rouge, je trace uniquement les deux segments qui m’intéressent. Sinon, en reliant les points d’intersection du cercle et des médiatrices, on obtiendrait un second triangle.

2014-03-17 13_32_48-GeoGebra

De ce nouvelles intersections, notées ici K et L, on va pouvoir déterminer les fameux tiers de segment !
[AK], [KL] et [LB] sont identiques en longueur. GéoGebra nous le confirme.

2014-03-17 13_34_48-GeoGebra

Maintenant, c’est l’instant de vérité, car de ces nouveaux points, on va pouvoir vérifier si ma théorie était juste…

Et non, à ma grande surprise, seuls deux angles sur trois sont égaux. J’ai vérifié si je n’avais pas fait d’erreur dans mon exécution. En tout cas les segments sont bien des tiers.
Très curieux… Est-ce que mon approche serait la mauvaise ? Et si on essayait de ruser en divisant d’abord l’angle en trois parties égales, donc en angles de 20°, pour s’assurer de la réciprocité avec les tiers de segment ?

2014-03-17 13_35_19-GeoGebra

Hélas non, ce n’est pas mieux, et on se retrouve dans le problème inverse : cette fois l’angle est divisé en trois, mais ce sont les segments qui sont désormais inégaux !

Et inutile de tracer une parallèle à nos segments, en pensant que c’est une affaire d’éloignement avec l’angle… L’écartement de l’angle reste proportionnel dans ce cas.

2014-03-17 13_20_18-GeoGebra

Ainsi, la trissection de l’angle est belle est bien incompatible avec la trissection du segment. Le cas de la bissectrice est donc une -heureuse- coïncidence.

Pour aller plus loin, on pourrait supposer que les divisions paires garderaient cette réciprocité, or, comme illustré ci-dessous, une quadrisection du segment originel nous donne deux paires différentes d’angles : 13,9° et 16,1°.

2014-03-17 14_38_27-GeoGebra

Ainsi, je comprends mieux les difficultés qu’ont connu tous les cartographes pour établir des plans, car il s’agissait de convertir des distances non-planes sur un support plat.

La précision maximale était obtenue sur le méridien central (la droite qui relie deux pôles), mais sitôt qu’on s’en éloignait à l’Est ou à l’Ouest, la divergence entre mesures réelles et cartographiques augmentait, d’où le besoin de créer suffisamment de fuseaux pour rétablir la justesse des mesures. Mais je diverge moi-même et ne suis pas cartographe…

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